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泊松过程两种定义等价性证明

2 0 1 4年 8月

安康学院学报 J o u r n a l o f An k a n g Un i v e r s i t y

Au g. 2 01 4

第2 6卷第 4期

V0 1 . 2 6 No . 4

泊松过程两种定义等价陛证明 陈立强 (安康学院88必发国际娱乐与系,陕西安康 7 2 5 0 0 0)

摘要:随机过程教材中关于泊松过程的定义有两种形式,但教材对其等价性要么没有证明,要么只给出了证 明的简单思路。本文给出了这两种定义等价性的详细证明过程。

关键词:泊松过程;第一定义;第二定义;等价性证明 中图分类号:0 2 1 1 . 6文献标识码:A文章编号:1 6 7 4— 0 0 9 2( 2 0 1 4 )0 4—0 0 9 8—0 3

O 引言 泊松过程是随机过程教材中的经典例子,在 E t 常生活及科研中经常碰到,因此有必要对其深入研

P ( M 一 Ns )= n )= e - a t,

, , 1, 2,…,∞。

泊松过程 ( P o i s s o n p r o c e s s)的第二定义 (简称

究。但在常见教材及科研文献中 (如文献【 l一 3】 ) 常常只给出了两种定义,要么没有证明,要么只给

为 B定义) 满足下面三条的计数过程Ⅳ ( ={Ⅳ ( I t>O _, t∈ 叫做泊松过程: ( 1 )Ⅳ ( 0 )= 0;

出了证明的简单思路,没有详细证明过程。本文对这两种定义的等价 l生进行详细证明。

( 2 )Ⅳ ( 是独立、平稳增量过程;

1 泊松过程的两个定义 计数过程( Co u n t i n g p r o c e s s)定义设Ⅳ ( ={Ⅳ ( t ) l t>0 -, t∈ 是一个随机过程,表示到 t时刻为止

( 3 )Ⅳ f 满足下面两等式: ( 3 ) P( Nt+ h ) - N0= U=A h+ o ( h ); ( 3 ) P( Nt+ h ) -Ⅳ ( 2 )= D ( ) (∈( D,+∞) )。

已知事件“ A”发生的次数,并且Ⅳ ( 满足所有下 列条件: ( 1 ) N0>o -; ( 2 )Ⅳ (力∈ ;

2泊松过程两个定义的等价性证明 证明要证明两个定义等价,即证 A c= ̄ B。 先证 B (或者 A蕴含 B)。 显然,A中( 1 )§ B中( 1 );A中( 3 )==> B中( 2 )之平 稳增量过程;A中( 2 )甘 B

中( 2 )之独立增量过程。下

( 3 )若 s< t,则 Ns )< -N ( 0; ( 4 )若 s< t,则Ⅳ ( f )一 Ns )等于在区间 ( S,中事 件“ A”发生的次数。 则称Ⅳ ( 是计数过程。 泊松过程 ( P o i s s o n p r o c e s s)的第一定义 (简称为 A定义) 满足下面三条的计数过程Ⅳ( ={Ⅳ( I t>O _, t∈ 叫做泊松过程。 ( 1 )Ⅳ ( 0 )= 0;

面只需证明 A中( 3 ) B中( 3 )。

事实上,对任意 h> 0,都有 P(Ⅳ (件 )一Ⅳ (力: 1 ): . e - X h= A h 汕

:

A h .[∑与】 + +。 ( ( ) 2]

=A h [ 1+

( 2 )N ( 0是独立增量过程;

=J ) L h( 1一A h+ o ( A h ) ) =

( 3 )在任意长度为 t的区问上,事件“ A”发生的次数服从参数为人,入> 0的泊松分布,即对任意的 S, t∈[ 0,+∞],有

A h—A 2, z 2+入h 0 (入 )=Ah+ o (入 )。

P( N ( t+ h ) -Ⅳ (力≥2 )= P(』、 )一』、 r ( 0 ) 2 )= P( Nh )一 0>2 - ),

第一个等号是因 A中( 3 ) B中( 2 )之平稳增量

收稿日期:2 0 1 4— 0 4— 2 7

作者简介:陈立强,男,湖北十堰人,安康学院88必发国际娱乐与系助教,主要从事随机过程研究。 9 8

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